\documentclass[spanish,a4paper]{article}

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\usepackage{array}

\author{G. Sebasti\'an Pedersen \\
\small{\texttt{(sebasped@gmail.com)}}
}
\title{C\'alculo de Derivadas Direccionales usando el Gradiente, y c\'alculo de Derivadas Direccionales M\'aximas y M\'inimas}
\date{\small\textsf{Versi\'on 1: mayo de 2011}}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Recordar}
\begin{itemize}
\item{Si $f(x,y)$ es un campo escalar, entonces el gradiente de $f$ es:
$$\nabla f (x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\mathbf{I}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\mathbf{J}$$}
\item{Si $f(x,y,z)$ es un campo escalar, entonces el gradiente de $f$ es:
$$\nabla f (x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)\mathbf{I}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\mathbf{J}+\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\mathbf{K}$$}
\item{Si $f$ es un campo escalar, $P_0 \in dom(f)$ y $U$ un versor, entonces:
	\begin{itemize}
	\item{La derivada direccional de $f$ en $P_0$ seg\'un la direcci\'on $U$ se calcula mediante:
$$D_U f (P_0) = \nabla f(P_0)\cdot U$$}
	\item{La \emph{direcci\'on} de la derivada direccional \emph{m\'axima} de $f$ en $P_0$ se calcula mediante:
$$U  = \frac{\nabla f(P_0)}{|\nabla f(P_0)|}$$}
	\item{El \emph{valor} de la derivada direccional \emph{m\'axima} de $f$ en $P_0$ se calcula mediante:
$$D_U f (P_0) = |\nabla f(P_0)|$$}
	\item{La \emph{direcci\'on} de la derivada direccional \emph{m\'inima} de $f$ en $P_0$ se calcula mediante:
$$U  = -\frac{\nabla f(P_0)}{|\nabla f(P_0)|}$$}
	\item{El \emph{valor} de la derivada direccional \emph{m\'inima} de $f$ en $P_0$ se calcula mediante:
$$D_U f (P_0) = -|\nabla f(P_0)|$$}
	\end{itemize}
}
\end{itemize}

\section*{Ejercicios}
\paragraph{1)} Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x,y)=(x+1)^3-y^2x$, y $P_0=(2,3)$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item{Averiguar el gradiente de $f$.}
\item{Calcular la derivada direccional de $f$ en el punto $P_0$ y seg\'un la direcci\'on $U=\mathbf{I}-3\mathbf{J}$.}
\item{Hallar el valor y  la direcci\'on de la derivada direccional m\'axima y m\'inima de $f$ en el punto $P_0$.}
\end{enumerate}



\paragraph{Resoluci\'on:} Calculemos el gradiente de $f$:
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= 3(x+1)^2-y^2\\
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= -2yx\\
\nabla f (x,y) &= \left(3(x+1)^2-y^2\right)\mathbf{I}-2yx\mathbf{J}
\end{align*}
Luego tenemos que calcular la derivada direccional. Primero entonces debermos ver si $U$ tienen m\'odulo $1$:
\begin{align*}
|U| &= \sqrt{1^2+(-3)^2} = \sqrt{10}\\
|U| &= \sqrt{10}
\end{align*}
Como el m\'odulo de $U$ es $\sqrt{10}$, entonces lo dividimos por $\sqrt{10}$ para que quede de m\'odulo $1$:
\begin{align*}
U &= \dfrac{\mathbf{I}-3\mathbf{J}}{\sqrt{10}}\\
U &= \dfrac{1}{\sqrt{10}}\mathbf{I}-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{J}
\end{align*}
Y entonces ahora calculamos la derivada direccional:
\begin{align*}
D_U f (P_0) &= \nabla f(P_0)\cdot U\\
D_U f (2,3) &= \nabla f (2,3)\cdot U\\
D_U f (2,3) &= (18\mathbf{I}-12\mathbf{J})\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\mathbf{I}-\frac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{J}\right)\\
D_U f (2,3) &= \frac{18}{\sqrt{10}}-\frac{36}{\sqrt{10}}\\
D_U f (2,3) &= -\frac{18}{\sqrt{10}}\\
\end{align*}

El valor de la derivada direccional m\'axima es:
\begin{align*}
D_U f (P_0) &= |\nabla f(P_0)|\\
D_U f (2,3) &= |\nabla f(2,3)|\\
D_U f (2,3) &= |18\mathbf{I}-12\mathbf{J}|\\
D_U f (2,3) &= \sqrt{(18)^2+(-12)^2}\\
D_U f (2,3) &= \sqrt{468}\\
\end{align*}
Y la direcci\'on de la derivada direccional m\'axima es:
\begin{align*}
U &= \frac{\nabla f(P_0)}{|\nabla f(P_0)|}\\
U &= \frac{18\mathbf{I}-12\mathbf{J}}{\sqrt{468}}\\
U &= \dfrac{18}{\sqrt{468}}\mathbf{I}-\dfrac{12}{\sqrt{468}}\mathbf{J}
\end{align*}

El valor de la derivada direccional m\'inima es:
\begin{align*}
D_U f (P_0) &= -|\nabla f(P_0)|\\
D_U f (2,3) &= -|\nabla f(2,3)|\\
D_U f (2,3) &= -|18\mathbf{I}-12\mathbf{J}|\\
D_U f (2,3) &= -\sqrt{(18)^2+(-12)^2}\\
D_U f (2,3) &= -\sqrt{468}\\
\end{align*}
Y la direcci\'on de la derivada direccional m\'inima es:
\begin{align*}
U &= -\frac{\nabla f(P_0)}{|\nabla f(P_0)|}\\
U &= -\frac{18\mathbf{I}-12\mathbf{J}}{\sqrt{468}}\\
U &= -\dfrac{18}{\sqrt{468}}\mathbf{I}+\dfrac{12}{\sqrt{468}}\mathbf{J}
\end{align*}



\emph{Respuesta:} \fbox{$\nabla f (x,y) = \left(3(x+1)^2-y^2\right)\mathbf{I}-2yx\mathbf{J}$}

\fbox{$D_U f (2,3) = -\frac{18}{\sqrt{10}}$}

\fbox{La direcci\'on de la derivada direccional m\'axima es $U = \dfrac{18}{\sqrt{468}}\mathbf{I}-\dfrac{12}{\sqrt{468}}\mathbf{J}$}

\fbox{El valor de la derivada direccional m\'axima es $\sqrt{468}$}

\fbox{La direcci\'on de la derivada direccional m\'inima es $U = -\dfrac{18}{\sqrt{468}}\mathbf{I}+\dfrac{12}{\sqrt{468}}\mathbf{J}$}

\fbox{El valor de la derivada direccional m\'inima es $-\sqrt{468}$}




\end{document}

